今天是 设为主页   加入收藏  
  首页 学校概况 新闻之窗 教学教研 德育在线 党团建设 师生天地 校友风采 招生招聘 有问必答  
 
教学教研
 计划总结
 学科建设
 教学活动
 教海探航
 
教师博客
教师博文   博客链接
调动学生注意力,提高政治课堂...
 
作息时间表
文昌高中春季作息时间表(高一...
 
学科建设 > 数学 现在位置是:首页> 学科建设 > 数学

数学周练

发布者:张艳    发布时间:2017-4-17 14:41:33    阅读:183次     [关 闭]

宿迁市文昌高级中学
2017届高三年级周测(二)
数学Ⅰ
参考公式:
样本数据 , ,…, 的方差 ,其中 .
棱锥的体积公式: ,其中 为棱锥的底面积, 为高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1. 函数 的最小正周期为 ▲ .
2. 设集合 , , ,则 ▲ .
3. 复数 ,其中 为虚数单位,则 的实部为 ▲ .
4. 口袋中有若干红球、黄球和蓝球,从中摸出一只球.已知摸出
红球的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,则摸出蓝球的概
率为 ▲ .
5. 如图是一个算法的流程图,则输出的 的值为 ▲ .
6. 若实数x,y满足 则z=3x+2y的最大值为 ▲ .
7. 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位:分),结果如下:
学生 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 65 80 70 85 75
乙 80 70 75 80 70
则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 ▲ .
8. 如图,在正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中, ,
,则三棱锥D1–A1BD的体积为 ▲ .
9. 在平面直角坐标系 中,直线 为双曲线 的一条渐近线,则该双曲线的离心率为 ▲ .
10.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升.
11.在△ABC中,若 ,则 的值为 ▲ .
12.已知两曲线 , , 相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直,则实数 的值为 ▲ .
13.已知函数 ,则不等式 的解集用区间表示为 ▲ .
14.在平面直角坐标系xOy中,已知B,C为圆 上两点,点 ,且AB⊥AC,则线段BC的长的取值范围为 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边作锐角 ,其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角 ,其终边与单位圆交于点B,AB= .
(1)求cos 的值;
(2)若点A的横坐标为 ,求点B的坐标.



16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC,BD相交于点O,点E为PC的中点,OP=OC,PA⊥PD.
求证:(1)直线PA∥平面BDE;
(2)平面BDE⊥平面PCD.

17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 的离心率为 ,焦点到
相应准线的距离为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为椭圆上的一点,过点O作OP的垂线交直线
于点Q,求 的值.






18.(本小题满分16分)
如图,某机械厂要将长6 m,宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪.已知点F为AD的中点,点E在边BC上,裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C,D分别落在直线BC下方点M,N处,FN交边BC于点P),再沿直线PE裁剪.
(1)当∠EFP= 时,试判断四边形MNPE的形状,并求其面积;
(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由.











19.(本小题满分16分)
已知函数 , .
(1)当 时,求函数 的最小值;
(2)若 ,证明:函数 有且只有一个零点;
(3)若函数 有两个零点,求实数a的取值范围.






20.(本小题满分16分)
已知等差数列 的公差 不为0,且 …, …( … …)成等比数列,公比为 .
(1)若 , , ,求 的值;
(2)当 为何值时,数列 为等比数列;
(3)若数列 为等比数列,且对于任意 ,不等式 恒成立,求 的取值范围.









南通市2017届高三第一次调研测试
数学Ⅱ(附加题)








21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.
若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)
已知圆O的直径 ,C为AO的中点,弦DE过
点C且满足CE=2CD,求△OCE的面积.



B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知向量 是矩阵A的属于特征值–1的一个特征向量.在平面直角坐标系xOy中,点
在矩阵A对应的变换作用下变为 ,求矩阵A.


C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,求直线 被曲线 所截得的弦长.
D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
求函数 的最大值.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,
且 .
(1)若 ,求AP与AQ所成角的余弦值;
(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°,
求实数 的值.

23.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线 上的点 到焦点F的距离为2.
(1)求抛物线的方程;
(2)如图,点E是抛物线上异于原点的点,抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P,直
线PF与抛物线相交于A,B两点,求△EAB面积的最小值.







南通市2017届高三第一次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1. 函数 的最小正周期为 ▲ .
【答案】
2. 设集合 , , ,则 ▲ .
【答案】
3. 复数 ,其中 为虚数单位,则 的实部为 ▲ .
【答案】
4. 口袋中有若干红球、黄球和蓝球,从中摸出一只球.摸出红球
的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,则摸出蓝球的概率为
▲ .
【答案】0.17
5. 如图是一个算法的流程图,则输出的 的值为 ▲ .
【答案】5
6. 若实数x,y满足 则z=3x+2y的最大值为 ▲ .
【答案】7
7. 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位:分),结果如下:
学生 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 65 80 70 85 75
乙 80 70 75 80 70
则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 ▲ .
【答案】20
8. 如图,在正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中, ,
,则三棱锥D1–A1BD的体积为 ▲ .
【答案】
9. 在平面直角坐标系 中,直线 为双曲
线 的一条渐近线,则该双曲线的离心率为 ▲ .
【答案】
10.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,
上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为 ▲ 升.
【答案】
11.在△ABC中,若 ,则 的值为 ▲ .
【答案】
12.已知两曲线 , , 相交于点P.若两曲线在点P处的切线
互相垂直,则实数 的值为 ▲ .
【答案】
13.已知函数 ,则不等式 的解集用区间表示为 ▲ .
【答案】
14.在平面直角坐标系xOy中,已知B,C为圆 上两点,点 ,且AB⊥AC,则
线段BC的长的取值范围为 ▲ .
【答案】




二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半轴为始边作锐角 ,其终边与单位圆交于点A.
以OA为始边作锐角 ,其终边与单位圆交于点B,AB= .
(1)求cos 的值;
(2)若点A的横坐标为 ,求点B的坐标.
【解】(1)在△AOB中,由余弦定理得,
,所以
……………2分

即 . ………………………………………………………………………6分
(2)因为 , ,
所以 . …………………………………………8分
因为点 的横坐标为 ,由三角函数定义可得, ,
因为 为锐角,所以 . ……………………10分
所以 ,………………12分

所以点 . …………………………………………………………14分
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC,BD相交于点O,点E为PC的中点,OP=OC,PA⊥PD.
求证:(1)直线PA∥平面BDE;
(2)平面BDE⊥平面PCD.
【证明】(1)连结 ,因为 为平行四边形 对
角线的交点,所以 为 中点.
又因为 为 的中点,
所以 ∥ . ……………………4分
又因为 平面 , 平面 ,
所以直线 ∥平面 . ……………………………………………………6分
(2)因为 ∥ , ,所以 . ………………………………8分
因为 , 为 的中点,所以 . …………………………10分
又因为 平面 , 平面 , ,
所以 平面 . …………………………………………………………12分
又因为 平面 ,所以平面 平面 . ……………………14分
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 的离心率为 ,焦点到
相应准线的距离为1.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为椭圆上的一点,过点O作OP的垂线交直线
于点Q,求 的值.
【解】(1)由题意得, , , …………2分
解得 , , .
所以椭圆的方程为 . …………………………………………………4分
(2)由题意知 的斜率存在.
当 的斜率为0时, , ,所以 . …………6分
当 的斜率不为0时,设直线 方程为 .
由 得 ,解得 ,所以 ,
所以 . ………………………………………………………………9分
因为 ,所以直线 的方程为 .
由 得 ,所以 . ………………………………12分
所以 .
综上,可知 . ……………………………………………………14分
18.(本小题满分16分)
如图,某机械厂要将长6 m,宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪.已知点F为AD的中点,
点E在边BC上,裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C,D分别落在
直线BC下方点M,N处,FN交边BC于点P),再沿直线PE裁剪.
(1)当∠EFP= 时,试判断四边形MNPE的形状,并求其面积;
(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大,请给出裁剪方案,并说明理由.
【解】(1)当∠EFP= 时,由条件得
∠EFP=∠EFD=∠FEP= .
所以∠FPE= .所以FN⊥BC,
四边形MNPE为矩形.…… 3分
所以四边形MNPE的面积
=2 m2.………… 5分
(2)解法一:
设 ,由条件,知∠EFP=∠EFD=∠FEP= .
所以 ,

. ………………………………………………………………8分
由 得
所以四边形MNPE面积为




………………………………………………………12分

当且仅当 ,即 时取“=”.………………14分
此时, 成立.
答:当 时,沿直线PE裁剪,四边形MNPE面积最大,
最大值为 m2. …………………………………………………………16分
解法二:
设 m, ,则 .
因为∠EFP=∠EFD=∠FEP,所以PE=PF,即 .
所以 , . ………8分
由 得
所以四边形MNPE面积为


…………………………………………………………12分

当且仅当 ,即 时取“=”. ………14分
此时, 成立.
答:当点E距B点 m时,沿直线PE裁剪,四边形MNPE面积最大,
最大值为 m2. …………………………………………………………16分
19.(本小题满分16分)
已知函数 , .
(1)当 时,求函数 的最小值;
(2)若 ,证明:函数 有且只有一个零点;
(3)若函数 有两个零点,求实数a的取值范围.
【解】(1)当 时, .
所以 ,(x>0). ……………………………2分
令 ,得 ,
当 时, ;当 时, ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
所以当 时, 有最小值 .………………………………4分
(2)由 ,得 .
所以当 时, ,
函数 在 上单调递减,
所以当 时,函数 在 上最多有一个零点.……………………6分
因为当 时, , ,
所以当 时,函数 在 上有零点.
综上,当 时,函数 有且只有一个零点. ………………………8分
(3)解法一:
由(2)知,当 时,函数 在 上最多有一个零点.
因为函数 有两个零点,所以 . ………………………………………9分
由 ,得 ,令 .
因为 , ,
所以函数 在 上只有一个零点,设为 .
当 时, ;当 时, .
所以函数 在 上单调递减;在 上单调递增.
要使得函数 在 上有两个零点,
只需要函数 的极小值 ,即 .
又因为 ,所以 ,
又因为函数 在 上是增函数,且 ,
所以 ,得 .
又由 ,得 ,
所以 . ……………………………………………………………………13分
以下验证当 时,函数 有两个零点.
当 时, ,
所以 .
因为 ,且 .
所以函数 在 上有一个零点.
又因为 (因为 ),且 .
所以函数 在 上有一个零点.
所以当 时,函数 在 内有两个零点.
综上,实数a的取值范围为 . ……………………………………………16分
下面证明: .
设 ,所以 ,(x>0).
令 ,得 .
当 时, ;当 时, .
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
所以当 时, 有最小值 .
所以 ,得 成立.
解法二:
由(2)知,当 时,函数 在 上最多有一个零点.
因为函数 有两个零点,所以 . ………………………………………9分
由 ,得关于x的方程 ,(x>0)有两个不等
的实数解.
又因为 ,
所以 ,(x>0).
因为x>0时, ,所以 .
又当 时, ,即关于x的方程 有且只有一个实数解.
所以 . ……………………………………………………………………13分
(以下解法同解法1)
20.(本小题满分16分)
已知等差数列 的公差 不为0,且 …, …( … …)成等比数列,
公比为 .
(1)若 , , ,求 的值;
(2)当 为何值时,数列 为等比数列;
(3)若数列 为等比数列,且对于任意 ,不等式 恒成立,求 的取值
范围.
【解】(1)由已知可得: , , 成等比数列,所以 , ………2分
整理可得: .因为 ,所以 . ……………………………4分
(2)设数列 为等比数列,则 .
又因为 , , 成等比数列,
所以 .
整理,得 .
因为 ,所以 .
因为 ,所以 ,即 .………………………………………6分
当 时, ,所以 .
又因为 ,所以 .
所以 ,数列 为等比数列.
综上,当 时,数列 为等比数列.………………………………………8分
(3)因为数列 为等比数列,由(2)知 , .
, .
因为对于任意 ,不等式 恒成立.
所以不等式 ,
即 , 恒成立.……………………10分
下面证明:对于任意的正实数 ,总存在正整数 ,使得 .
要证 ,即证 .
因为 ,则 ,
解不等式 ,即 ,
可得 ,所以 .
不妨取 ,则当 时,原式得证.
所以 ,所以 ,即得 的取值范围是 . ……………16分
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.
若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)
已知圆O的直径 ,C为AO的中点,弦DE过点C且满足CE=2CD,求△OCE的面积.
【解】设 ,则 .
因为 , ,
由相交弦定理,得 ,
所以 ,所以 .…………2分
取 中点 ,则 .
因为 ,
所以 .…………………………………………………………………………6分
又因为 ,
所以△OCE的面积 . …………………………10分
B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知向量 是矩阵A的属于特征值–1的一个特征向量.在平面直角坐标系xOy中,点
在矩阵A对应的变换作用下变为 ,求矩阵A.
【解】设 ,
因为向量 是矩阵A的属于特征值–1的一个特征向量,
所以 .所以 ………………………………4分
因为点 在矩阵A对应的变换作用下变为 ,
所以 .所以 …………………………………………………8分
解得 , , , ,所以 .………………………………10分
C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,求直线 被曲线 所截得的弦长.
【解】解法一:
在 中,令 ,得 ,即 = . …………………10分
解法二:
以极点 为坐标原点,极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系.
直线 的直角坐标方程为 ①, ………………………………………3分
曲线 的直角坐标方程为 ②. ……………………………6分
由①②得 或 ……………………………………………………………8分
所以 ,
所以直线 被曲线 所截得的弦长 = . ………………10分
D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
求函数 的最大值.
【解】 …………………………………………2分
由柯西不等式得
,……………………………8分
所以 ,此时 .
所以函数 的最大值为5. …………………………………10分
【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在棱长为2的正方体ABCD–A1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,
且 .
(1)若 ,求AP与AQ所成角的余弦值;
(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°,
求实数 的值.
【解】以 为正交基底,建立如图所示空
间直角坐标系 .
(1)因为 , ,
所以 .
所以 与 所成角的余弦值为 .………………………………………4分
(2)由题意可知, , .
设平面 的法向量为n ,
则 即
令 ,则 , .
所以n .…………………………………………………………6分
又因为直线 与平面 所成角为45°,
所以|cos<n, >| = ,
可得 ,又因为 ,所以 . ……………………………10分
23.(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线 上的点 到焦点F的距离为2.
(1)求抛物线的方程;
(2)如图,点E是抛物线上异于原点的点,抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P,直
线PF与抛物线相交于A,B两点,求△EAB面积的最小值.
【解】(1)抛物线 的准线方程为

因为 ,由抛物线定义,知

所以 ,即 ,
所以抛物线的方程为 .……………………………………………………3分
(2)因为 ,所以 .
设点 ,则抛物线在点 处的切线方程为 .
令 ,则 ,即点 .
因为 , ,所以直线 的方程为 ,即 .
则点 到直线 的距离为 .…………………5分
联立方程 消元,得 .
因为 ,
所以 , ,
所以 . ………………7分
所以△EAB的面积为 .
不妨设 ,则 .
因为 时, ,所以 在 上单调递减;
上, ,所以 在 上单调递增.
所以当 时, .
所以△EAB的面积的最小值为 .……………………………………………10分



w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
 
版权所有:宿迁市文昌高级中学    联系电话:0527-84491988  邮箱:houxucun@qq.com  校址:江苏省宿迁市宿豫区江山大道与环城北路交汇处